Рођен у Новом Саду, Којић припада водећим диригентским именима млађе генерације. 

После завршених основних и специјалистичких студија дириговања на Факултету музичке уметности у Београду, усавршавао се на неколико различитих мајсторских курсева: у Београду код проф. Уроша Лајовица, Бечу код проф. Марка Стрингера (Universität fűr Musik und darstellende Kunst, Wien), Мајнцу – курсеви из хорског дириговања (проф. Ервин Ортнер и Фридер Берниус), Утрехту – курсеви из хорског дириговања (проф. Тимоти Браун), као и на радионицама за стару музику (Хелмут Рилинг – Мајнц и Тон Копман – Утрехт).

У септембру 2017. усавршавао се у Равени (Италијa) на Италијанској оперској академији коју је водио Рикардо Мути.

Године 2010. добија позив за место диригента у Опери Српског народног позоришта (СНП) у Новом Саду. 

Од августа 2012. до априла 2014. био је директор Опере Српског народног позоришта.

Поред стандардног оперског репертоара, доказао се и на пољу модерне опере.

Извођењем опере "Милева", савремене композиторке Александре Вребалов обележена је 150. годишњица Српког народног позоришта у Новом Саду. Ова опера је одвела Оперу СНП на престижан Оперски фестивал АРМЕЛ у Мађарској. Француска телевизија ARTE снимила је извођење на овом фестивалу, након чега је "Милева" ушла у првих 15 светских продукција које је ова телевизија снимала током 2012. године.

Алкесандар Којић је заслужан за прво извођење музике Рихарда Штрауса у Српском народном позоришту (2014. изведен је Гала концерт са одломцима из опера “Каваљер с ружом“, „Ариадна на Наксосу“ и „Салома“ а у поводу
обележавања 150. година од рођења композитора) као и премијерно извођење кантате "Александар Невски" Сергеја Прокофјева.

Поводом сто година од рођења Рудолфа Бручија (2017.) Којић је премијерно извео Бручијев балет "Катарина Измаилова".

Поред дириговања, Којић се активно бави оркестрирањем и аранжирањем. Његов целовечерњи балет "Дама с камелијама" на музику из Вердијеве "Травијате" отворио је сезону 2018/2019 СНП-а. 

Опера Исидора Бајића "Кнез Иво од Семберије" у Којићевој редакцији и орекстрацији премијерно је изведена је 2015. СНП у Новом Саду, а потом и на "Мокрањчевим данима" у Неготину.

У протеклих неколико година Којић је гостовао у Хрватском народном казалишту (ХНК) у Загребу и ХНК "Ивана пл. Зајца" Ријека (Хрватска), Сегединској опери (Мађарска), Театру Опере и Балета у Краснојарску (Русија), Државном театру у Брауншвајгу (Немачка)...

Сарађивао је са Војвођанским симфонијским оркестром, Београдском филхармонијом, Симфонијским оркестром РТС, Зрењанинском, Суботичком и Бањалучком филхармонијом, Нишким симфонијским оркестром, Оркестром "Чешки виртуози" из Брна, Камерним оркестрима "Камерата академика", Државним оркестром из Брауншвајга (Немачка).

Носилац је шест годишњих награда Српског народног позоришта.